초끈 이론에 필요한 수학

초끈 이론에 필요한 수학 – 프리챌 물리사랑 | 초끈 이론 2004/06/13 16:45

In fact, the mathematics of string theory is “(Complex) Algebraic Geometry”. However, that field is quite tuff to study partly because it contains almost all of algebra, geometry, and complex analysis because it’s a unifying theme of all mathematics, and partly because it’s simply too abstract and complicated. Historically algebraic geometry comes from classifying complex algebraic curves by Riemann, and then it becomes more abstract after Grothendieck’s scheme theory.

사실 끈이론에서의 수학은 “(복소) 대수 기하학”입니다. 하지만 이 분야는 각 부분만을 공부하기는 꽤 어렵습니다. 왜냐하면 이것이 애초에 모든 수학을 통합한다는 주제를 가져왔으므로 대수학과 기하학 그리고 복소해석의 전 분야를 포함하고 있기 때문이며 또한 너무 추상적이고 복잡한 때문도 있습니다. 역사적으로 볼때 대수 기하학은 리만이 복소대수곡선들을 분류하면서 나왔고 그로덴딕의 스킴이론이 나온후 더 추상적이 되어 갔습니다.

(1) The former viewpoint of “(Complex) algebraic geometry”, that is string mathematics, starts from complex analysis of Riemann surfaces, so it inherently contains representation theory(Lie group, Lie algebra, algebraic groups, automorphic forms, modular forms), differential geometry(including the most cerebrated theorem of 20th century differential geoemtry called Atiyah-Singer index theorem), algebraic and differential topology(fundamental group, homology, cohomology, homotopy), and symplectic topology. Representation theory of Lie group and Lie algebra is elementary for understandng differential geometry, and for algebraic geometry “algebraic group theory” is required. These mathematics are also for TQFT(Topological Quantum Field Theory).

(1) “(복소)대수기하학”에 대한 과거에 논해진 관점-끈수학은 리만평면에 대한 복소해석으로부터 출발하며 때문에 이는 표현이론(리 군, 리 대수, 대수적 군, 자가동형 형식, 모듈라 형식등)과 미분기하학(20세기의 가장 유명한 정리인 아티야-싱어의 인덱스 정리를 포함하는), 대수미분토폴로지(기본군, 호몰로지, 코호몰로지, 호모토피), 그리고 심플렉틱 토폴로지등을 inherently 포함합니다. 리 군과 리 대수에 관한 표현(이)론은 미분기하학과, 대수적 군론이 요구되는 대수기하학을 이해하는데 초보적인 역할을 합니다. 이러한 수학들은 마찬가지로 TQFT(토폴로지적 양자장론)을 이해하기 위해 필요합니다.

(2) K-theory is a little bit out of context. It’s a subfield of algebraic topology, and actively studied with “Noncommutative (differential) geometry(quantum geometry)”. Noncommutative geometry is another unifying theme of all mathematics using C*-algebra (a subfield of functional analysis). This is closely connected to “Affine Lie Algebra”, “Quantum Algebra” and “Knot theory(a subfield of algebraic topology)” even if they are not the same. These mathematics have wide applications to CFT(Conformal Quantum Field Theory) and Quantum Statistical Physics.

(2) K-이론은 약간 맥락을 벗어나 있습니다. 이는 대수적 토폴로지의 한 분야로서 “비가환(미분)기하학 (양자적 기하학)”과 함께 활발히 연구됩니다. 비가환 기하학은 C*- 대수(functional analysis의 한 분야)를 이용해 모든 수학을 통합하려는 또다른 시도입니다. 이는 “아핀 리 대수”, “양자적 대수” 그리고 “매듭이론(대수적 토폴로지의 한 분야)”들과 밀접히 연관됩니다만 사실 그것들은 동일한 것이 아니죠. 이러한 수학들은 CFT(등각 양자장론)과 양자 통계 물리학에 대해 폭넓은 응용성을 가집니다.

In summary, algebraic topology is for TQFT, complex algebraic geometry is for string theory/M-theory, quantum groups/knot theory/noncommutative geometry are for CFT. However, it’s very difficult to divide these because they are closely tied with each other.

요약하자면, 대수적 토폴로지는 TQFT를 위해, 대수기하학은 끈이론/M이론을 위해, 양자군론/매듭이론/비가환기하학은 등각양자장론을 위한 것이라고 할 수 있습니다. 하지만 이것들을 따로따로 생각하기란 어려운데 왜나하면 그것들이 서로간에 매우 밀접히 연관되어 있기 때문입니다.

Although these mathematics are quite important both in mathematics and physics, those constitute parts of mathematics. It’s really tuff to master even one subfield of mathematics, and there’s no mathematician who is an expert both of (1) and (2): broad knowledge is not useful for doing mathematics and only deep theory is required.

위에서 살펴본 수학들이 수학과 물리 양쪽에서 꽤 중요함에도 그것들은 여전히 수학에 속합니다. 수학에서는 어느 한 분야에 대해서조차 완벽히 마스터하기란 정말로 어려우며 어느 수학자도 (1)과 (2)의 두 분야에 동시에 전문가이지 못합니다. 넓은 분야에 걸친 지식은 수학을 하는데는 별로 유용하지 못하며 단지 deep한 이론만이 요구됩니다.

— written by Senkiu and 이동윤 —

[부록] – 이상민

반드시 알아야 할 기본적인 것들로는

(1) 대수 : Lie Group과 Lie Algebra의 Representation theory

(2) 기하 : Complex manifold (복소다양체)에 대한 미분기하학

(3) 위상수학 : homotopy, de Rham cohomology

정도입니다.

기하와 위상수학에 관한 책으로는

B. Schutz의 Geometrical Methods of Mathematical Physics

M. Nakahara의 Geometry, Topology and Physics

C. Nash, S. Sen의 Topology and Geometry for Physicists

이렇게 세 권이 가장 인기 있습니다.

초끈을 깊이있게 공부하다 보면 여러 종류의 수준높은 수학을 만나게 됩니다.

몇 가지 예를 들면

Algebraic geometry

Atiyah-Singer Index theorem

Theory of Riemann surfaces

K-theory

modular forms

등이 있습니다.