초끈 이론에 필요한 수학

초끈 이론에 필요한 수학 – 프리챌 물리사랑 | 초끈 이론 2004/06/13 16:45

In fact, the mathematics of string theory is “(Complex) Algebraic Geometry”. However, that field is quite tuff to study partly because it contains almost all of algebra, geometry, and complex analysis because it’s a unifying theme of all mathematics, and partly because it’s simply too abstract and complicated. Historically algebraic geometry comes from classifying complex algebraic curves by Riemann, and then it becomes more abstract after Grothendieck’s scheme theory.

사실 끈이론에서의 수학은 “(복소) 대수 기하학”입니다. 하지만 이 분야는 각 부분만을 공부하기는 꽤 어렵습니다. 왜냐하면 이것이 애초에 모든 수학을 통합한다는 주제를 가져왔으므로 대수학과 기하학 그리고 복소해석의 전 분야를 포함하고 있기 때문이며 또한 너무 추상적이고 복잡한 때문도 있습니다. 역사적으로 볼때 대수 기하학은 리만이 복소대수곡선들을 분류하면서 나왔고 그로덴딕의 스킴이론이 나온후 더 추상적이 되어 갔습니다.

(1) The former viewpoint of “(Complex) algebraic geometry”, that is string mathematics, starts from complex analysis of Riemann surfaces, so it inherently contains representation theory(Lie group, Lie algebra, algebraic groups, automorphic forms, modular forms), differential geometry(including the most cerebrated theorem of 20th century differential geoemtry called Atiyah-Singer index theorem), algebraic and differential topology(fundamental group, homology, cohomology, homotopy), and symplectic topology. Representation theory of Lie group and Lie algebra is elementary for understandng differential geometry, and for algebraic geometry “algebraic group theory” is required. These mathematics are also for TQFT(Topological Quantum Field Theory).

(1) “(복소)대수기하학”에 대한 과거에 논해진 관점-끈수학은 리만평면에 대한 복소해석으로부터 출발하며 때문에 이는 표현이론(리 군, 리 대수, 대수적 군, 자가동형 형식, 모듈라 형식등)과 미분기하학(20세기의 가장 유명한 정리인 아티야-싱어의 인덱스 정리를 포함하는), 대수미분토폴로지(기본군, 호몰로지, 코호몰로지, 호모토피), 그리고 심플렉틱 토폴로지등을 inherently 포함합니다. 리 군과 리 대수에 관한 표현(이)론은 미분기하학과, 대수적 군론이 요구되는 대수기하학을 이해하는데 초보적인 역할을 합니다. 이러한 수학들은 마찬가지로 TQFT(토폴로지적 양자장론)을 이해하기 위해 필요합니다.

(2) K-theory is a little bit out of context. It’s a subfield of algebraic topology, and actively studied with “Noncommutative (differential) geometry(quantum geometry)”. Noncommutative geometry is another unifying theme of all mathematics using C*-algebra (a subfield of functional analysis). This is closely connected to “Affine Lie Algebra”, “Quantum Algebra” and “Knot theory(a subfield of algebraic topology)” even if they are not the same. These mathematics have wide applications to CFT(Conformal Quantum Field Theory) and Quantum Statistical Physics.

(2) K-이론은 약간 맥락을 벗어나 있습니다. 이는 대수적 토폴로지의 한 분야로서 “비가환(미분)기하학 (양자적 기하학)”과 함께 활발히 연구됩니다. 비가환 기하학은 C*- 대수(functional analysis의 한 분야)를 이용해 모든 수학을 통합하려는 또다른 시도입니다. 이는 “아핀 리 대수”, “양자적 대수” 그리고 “매듭이론(대수적 토폴로지의 한 분야)”들과 밀접히 연관됩니다만 사실 그것들은 동일한 것이 아니죠. 이러한 수학들은 CFT(등각 양자장론)과 양자 통계 물리학에 대해 폭넓은 응용성을 가집니다.

In summary, algebraic topology is for TQFT, complex algebraic geometry is for string theory/M-theory, quantum groups/knot theory/noncommutative geometry are for CFT. However, it’s very difficult to divide these because they are closely tied with each other.

요약하자면, 대수적 토폴로지는 TQFT를 위해, 대수기하학은 끈이론/M이론을 위해, 양자군론/매듭이론/비가환기하학은 등각양자장론을 위한 것이라고 할 수 있습니다. 하지만 이것들을 따로따로 생각하기란 어려운데 왜나하면 그것들이 서로간에 매우 밀접히 연관되어 있기 때문입니다.

Although these mathematics are quite important both in mathematics and physics, those constitute parts of mathematics. It’s really tuff to master even one subfield of mathematics, and there’s no mathematician who is an expert both of (1) and (2): broad knowledge is not useful for doing mathematics and only deep theory is required.

위에서 살펴본 수학들이 수학과 물리 양쪽에서 꽤 중요함에도 그것들은 여전히 수학에 속합니다. 수학에서는 어느 한 분야에 대해서조차 완벽히 마스터하기란 정말로 어려우며 어느 수학자도 (1)과 (2)의 두 분야에 동시에 전문가이지 못합니다. 넓은 분야에 걸친 지식은 수학을 하는데는 별로 유용하지 못하며 단지 deep한 이론만이 요구됩니다.

— written by Senkiu and 이동윤 —

[부록] – 이상민

반드시 알아야 할 기본적인 것들로는

(1) 대수 : Lie Group과 Lie Algebra의 Representation theory

(2) 기하 : Complex manifold (복소다양체)에 대한 미분기하학

(3) 위상수학 : homotopy, de Rham cohomology

정도입니다.

기하와 위상수학에 관한 책으로는

B. Schutz의 Geometrical Methods of Mathematical Physics

M. Nakahara의 Geometry, Topology and Physics

C. Nash, S. Sen의 Topology and Geometry for Physicists

이렇게 세 권이 가장 인기 있습니다.

초끈을 깊이있게 공부하다 보면 여러 종류의 수준높은 수학을 만나게 됩니다.

몇 가지 예를 들면

Algebraic geometry

Atiyah-Singer Index theorem

Theory of Riemann surfaces

K-theory

modular forms

등이 있습니다.

Physics to Finance

EXtraD 님의 블로그에서 재밌는 내용의 글을 퍼왔습니다.솔직히 저도 물리학을 매우 좋아하고 계속 하고 싶지만, 다른 길에 대한 생각을 떨쳐 버릴 수는 없는 것 같습니다. 그 중 Finance도 꽤 괜찮은 분야인 것 같은데…. 흠 >>>>>>>>>아래는 EXTRAD님의 글<<<<<<<<<<<<< 물리과 대학원생 모임(Physics Grad Society Forum)에서 코넬 비즈니스 스쿨( Johnson)의 Finance professor인 Ming Huang 을 초대하여 Discussion 시간을 가졌다. 사진을 찍지 못해서 그냥 그의 홈페이지 사신을 한 장 빌려다 붙여둔다. 영락없는 중국인의 모습이다. Prof. Huang's Cornell Faculty Homepage 공짜 피자의 유혹을 받아 한스 베테홀이 있는 클라크 홀 7층으로 향했다. 루이와 사라등 입자물리학 그룹의 대학원생들도 눈에 들어온다. 줄서기가 싫어서 잠시 다른 계산을 하는 사이에 피자가 동이 나버리는 바람에 그냥 물만 마시고 있는데, 밍 후앙 교수가 소개되었다. 밍은 코넬 물리학 박사이자 스탠포드 Finance program 박사로서, 그가 어떻게 그리고 왜 물리학을 떠나 다른 분야로 가게 되었으며 특히 finance로 커리어 패스를 조정했는지 대략 한 시간 동안 학생들에게 들려주었다. 그는 북경 대학을 졸업하고, 코넬로 와서 이론 물리학을 5년간 공부한 끝에 물리학 박사가 되었다고 한다. 그 후 스탠포드의 파이낸스 과정으로 옮겨 4년간 공부하여 두 번째 박사 학위를 취득한 후, 시카고, 스탠포드를 거쳐 다시 코넬로 돌아왔다고 한다. 이번엔 물리학자가 아니라 파이낸스 전문가가 되어서라는게 달라진 점이다. 그의 토픽은 1. leaving physics, 2. Pros and cons 3. getting into finance 였는데, 생생한 자신의 경험과 그의 친구들과 동료들의 경험을 토대로 흥미롭게 이야기를 해나갔다. 우선 그는 물리학이 하드 사이언스의 꽃으로 그 자체로 중요하며, 흥미로우며 엄청난 지적인 작업을 요하는 훌륭한 학문임을 다시 한 번 강조했다. 하지만 그 작업은 매우 힘들고, 끊임없이 노력해야하며, 본질적으로 외롭고 그리고 'less paid" 된다는 점을 지적했다. 그는 농담반 진담반 "물리학 바깥에는 정말로 지적으로 덜 훌륭하지만, 또 엄청나게 돈을 버는 사람들이 넘쳐난다" 고 말했다. 그리고 " 스마트한 사람이 사회를 위해 직접적으로 공헌할 수 있고, 또 거기에 대해 '금전적으로' 보상을 받는다" 는 점을 강조했다. 밍 교수 자신이 물리학을 떠날 생각을 하게 된 것은 대학원 마지막 수업의 마지막 시험을 앞두고 였다고 한다. 당시 동료로 있던 친구가 (그는 정말로 정말로 물리학을 사랑했다고 하는데) 자신은 자기가 좋아하는 일을 하면서, 돈까지 받을 수 있어서 행복하다고 말했다고 한다. 밍 교수는 그 말에 갑자기 아차하는 생각이 들었다고 한다. 왜냐하면 자기는 중국에 가난한 부모, 형제들이 있고, 자신은 돈을 받을 수 있다는 자체만으로 만족하기가 어려웠다고 고백했다. 물론 이건 자신이 가진 가치관에 따라 다른 일이겠지만 아무튼 자신에겐 그 문제가 중요하게 와닿았다고 한다. 그는 그 후로도 종종 물리학을 떠났다는 것이 믿어지지 않았고, 심지어 악몽을 꾸기도 했다고 한다. 물리학의 학문적 매력은 그만큼 컸던 것이다. 그리고 그가 털어놓길 물리학 바깥에서는 물리학자들 처럼 'nice guy'를 만나기가 쉽지 않다는 이야기를 했다. 특히 wall street의 금융 전문가들과 돈을 벌기 위해 만들어진 모임에서 물리학자들 만큼 smart 하고, 또 nice한 사람을 만나기가 쉽지 않았다는 것이다. 그는 물리학을 떠났을 때 이 두가지 점이 가장 아쉬운 점이었다고 한다: 물리학의 학문적 매력을 포기한다는 것 그리고 물리학 코뮤니티의 지적이고 진실된 사람들을 잃게 되는 것. 하지만 그는 또 이런 말을 덧붙였다. "물리학을 떠난 사람이 다시 물리학으로 돌아갔다는 이야기를 듣지 못했다." (나는 한 명 알고 있다. 뭐, 아무튼..) 물리학을 떠난 사람들이 어떻게든 잘해 나간다는 것 그리고 물리학 바깥 세상도 그리 나쁘지 않다는 것이다. 파이낸스를 선택한 경우엔 그 일이 좋건 싫건 일단 몇 배의 연봉을 받을 수 있었고 또 실제로 물리학 Ph.D들이 매우 잘 해나가고 있다는 것을 몇가지 성공 사례를 들어 말해주었다. 미국 항공의 스케쥴 변동에 따른 체계적 관리 시스템을 만든 사람도 물리학 Ph.D 출신이고, Amazon.com의 주문-배송 관련 risk control 시스템을 만든 사람도 물리학 Ph.D 출신이라고 한다. Option을 관리하는 경제학 방정식은 열물리학의 diffusion 방정식의 쉬운 버전이라고 한다. 실제로 이러한 문제를 해결하는데 있어서 수학 Ph.D 보다, 물리학 Ph.D 들이 평균적으로 더 유능하다고 한다. 그의 설명에 따르면 주어진 가정하에서 문제의 해결책을 찾는 일은 수학 트레이닝을 받은 사람들이 매우 능하지만, 그 가정 자체를 컨트롤하는 능력에서 물리학 트레이닝을 받은 사람들이 일반적으로 더 나은 퍼포먼스를 보여준다는 것이다. 문제를 파악하고, 가장 핵심적인 그리고 유효한 해법을 제시하는 것이 물리학 트레이닝의 가장 중요한 핵심이니 일리가 있다는 생각이다. 아무튼 무척 흥미로운 시간이었다. 사람들이 떠난 후 한스 베테홀에 혼자남아 멀리 보이는 카유가 호수를 바라 보면서 잠시 생각에 잠겼다. 어제 콜로퀴움에서 입자물리학의 미래를 위해 선형 가속기 건설에 힘을 모아야한다는 말을 들었다. 오늘 포럼에서 물리학 이외의 커리어가 존재하며 그 나름의 가치가 있다는 말을 또 들었다. 뭐랄까 강한 contrast가 느껴졌다. 연구실로 돌아오자 헨리(Henry Tye)가 기말고사 문제를 만들었다며 봐달라고 한다. 마지막 문제는 상대론적인 에너지 방정식에서 Klein-Gordon 방정식을 유도하고, 입자와 반입자 해를 물리학적으로 논의하는 것이었다. 입자물리학을 전공한 사람에겐 trivial한 문제이겠지만, 아닌 사람에게는 상당히 힘든 문제인 것이 실제로 다른 물리학 강사 두명은 아예 그 문제에 손도 대지 못했다. 헨리는 코넬의 똑똑한 녀석들이 일으킨 어처구니 없는 문제지 도난 사건, 답안지 바꿔치기 사건 등을 이야기 해주며 우리는 주의해야 한다고 즐겁게 말한다. 나는 6차원 공간의 complex moduli가 어떤 현상론적인 함의를 가지는지 그래프를 몇개 그려보았다. 이 주제로 조만간 논문을 써야겠다고 생각하면서 연구실을 나섰다.

Blog의 정체성

존댓말로 쓰다가, 반말로 쓰다가, 영어로 쓰고…….

음 정체성이 없는 블로그가 되어 가는 느낌이다…..

ㅋ 어짜피 내 자유 공간이니 내 맘 내키는 대로 쓰는 거지 머!

Digital Holography

현재 학교에서 가볍게 참여하고 있는 프로젝트로 Digital Holography가 있습니다. Holography는 Gabor(1971년 노벨물리학상 수상)에 의해서 처음 시작되어서 현재까지 이런저런 다양한 분야에 응용되고 있습니다. 기존의 사진과 다른 측면은 holography는 2차원 평면에 물체의 3차원 정보를 모두 담을 수 있다는 것입니다. 3차원적인 정보를 포함하기 위해서는 물체에서 나온 빛의 위상정보를 기록할 수 있어야 합니다. 이를 위해서 Reference wave라는 기준파를 물체파와 함께 더해 간섭무늬를 기록하는 것이 holography입니다. 이 reference wave와의 간섭무늬에 물체의 3차원 정보가 들어가 있게 되는 것입니다.

3차원 정보를 갖고 있다는 것을 쉽게 설명하자면 마치 Hologram 판 뒤쪽에 실제로 물체가 있는 것 같은 느낌이 든다는 것입니다. 시선을 좌우로 움직임에 따라 물체의 보이는 모습이 달라집니다. 흔히 입체영상이라고도 할 수 있습니다. 공상과학 영화에 미래의 통화수단이나 텔레비전의 모습으로 사용되기도 합니다. 이 holography의 실제 응용으로는 신권 5000원의 위조방지 마크, 신용카드 고유 마크 등으로도 주위에서 쉽게 볼 수 있습니다.

입체영상을 구현하는 방법이 holography만 있는 것은 아니라고 합니다. 그러나 holography가 눈의 피로를 가장 적게주면서도 입체감이 매우 좋기 때문에 앞으로 무한하게 응용될 것으로 예상되고 있습니다. 물론 앞으로 holography를 이용한 입체영상 TV 중계등을 사용하기 위해선 넘어야 할 산이 많습니다. 현재 다양한 분야의 연구자들이 연구를 계속진행하고 있는 중입니다.

제가 다루게 된 digital holography는 컴퓨터의 엄청난 활용능력을 이용해서 holography를 응용하는 것입니다. 물론 제가 현재 건드리고 있는 부분은 이미 구축해논 체계를 직접 새로 해보는 수준입니다. 새로운 application등으로 나갈 단계는 아닌 것 같지만 조금 건드려보다 좋은 아이디어가 있으면 혹시 모르겠습니다.^^;  Holography로 찍은 사진인 hologram은 광학적 setup을 통해서 제작할 수도 있고 CGH(Computer Generated Hologram) 기술을 통해서 컴퓨터로 제작할 수도 있습니다. 지난번 posting 했던 Lee의 논문이 바로 이 CGH의 시발점이라고도 할 수 있는 기술이죠. 하여간 이렇게 만들어진 hologram을 CCD를 통해서 컴퓨터로 인식을 하면(물론 CGH는 컴퓨터에 있기에.. 따로 인식할 필요는 없습니다.), 컴퓨터의 다양한 계산기능을 통해서 여러 재밌는 일들을 할 수 있습니다.

일단 제가 지난 주말에 했던 일은 첫째로, MATLAB기반으로 이 hologram을 컴퓨터로 인식해서 데이타를 계산할 수 있도록 만들었습니다. 간단한 reference를 참조해서 손쉽게 끝냈고, 그 다음으로는 Frenel-Transform을 잘 활용해서 hologram을 변환해서 Fourier Transform을 통해 본래의 image를 그려봤습니다. 솔직히 간단한 코딩에 너무 쉽게 결과가 나와서 기분은 좋았습니다. Image 상태가 그렇게 좋은 건 아니기에 개선해야할 여지가 많긴 했지만 일단 결과는 나와서 만족이었습니다. 내친김에 간단한 통계처리를 통해서 refrence wave의 non-diffracted term(DC term, Zero order term 등등으로 불리는)을 제거해봤습니다. 주요한 부분을 제거하긴 했지만 minor하게 blurry한 부분이 없어지지 않아서 아쉬웠는데, 앞으로 해나가야할 일인 것 같습니다.

일단 지난 주까지 제가 한 일들이 저거였습니다. 컴퓨터로는 데이터를 직접 하나하나 계산해서 조작할 수 있기 때문에 다양한 테크닉을 응용할 수 있을 것이라고 기대하고 있습니다. 좋은 Idea가 떠올라서 저만의 기술하나를 고안했으면 하네요….

PS. Optics 특히 Applied Optics가 제 main interest는 아닙니다. 요즘 제 main interest는 Theoretical High Energy Physics로 기울어가고 있습니다. 흥미로운 점은 Super String Theory(초중력 이론)에서도 Holography원리가 있다는 것입니다. 광학에서 나온 개념을 응용해서 사용한 것인데, 블랙홀의 엔트로피가 부피가 아닌 표면적에 비례한다는 측면(원래 entropy는 extensive variable로 알려져 있고 부피에 비례합니다.)에 착안해서 3차원적 블랙홀 정보가 2차원 표면에 기록되어 있기에 Holography적인 성질이 있다는 것입니다. wiki에서 검색해보니 't hooft와 susskind에 의 해 주장된 것으로 공간에 있는 정보는 그 경계에서 일어나는 일로 완전히 대응된다는 것입니다. 경계를 통해 내부 전체를 알 수 있다는 것은 왠지 미분 방정식 bounday-value problem들을 생각나게 하는데….. 복소함수의 성질도….. 음 연관성이 있을까요? 가장 엄밀한 이 holographic principle은 Maldacena의 ADS/CFT 대응으로 표현됩니다.(Anti de Sitter Space와 Conformal Field Theory의 대응) 으… 공부가 필요한 시점입니다!!!